Moderne Portfoliotheorie Bayes kommt Markowitz zu Hilfe

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Der Satz von Bayes (oder das Bayes’-Theorem) wird weithin verwendet bei der sogenannten Bayesschen Inferenz, wo geschätzte Wahrscheinlichkeiten oder Parameter auf der Basis von Beobachtungen und ihrer Wahrscheinlichkeitsgesetze revidiert werden.

In unserem Beispiel der Portfolioallokation haben wir zunächst eine methodische Analyse aller vierteljährigen Volatilitäten und Korrelationen von Aktien über einen Zeitraum von 20 Jahren durchgeführt. Im Fall der Volatilität haben wir für jedes Quartal ein Histogramm von 4 bis 5 „Buckeln/Buckets“ beziehungsweise Volatilitätswerte beobachtet, an denen sich eine große Anzahl von Aktien gruppiert.

Dann haben wir die Gesamtheit der Aktien mit nur fünf möglichen Volatilitätswerten modelliert. Das nachfolgende Histogramm illustriert die realisierten Volatilitäten aller Aktien des Euro Stoxx im Dezember 2015. Obwohl das Histogramm die theoretische Linie (kalibriert) nicht perfekt abzubilden scheint, bestätigt eine Überprüfung der kumulierten Wahrscheinlichkeit die Relevanz des Modells.

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Die Interpretation von Informationen der Gesamtheit, das heißt die Beobachtung von realisierten Volatilitäten, ermöglicht uns Volatilitätstöpfe oder sogenannte Buckets (siehe unten) mit ihnen assoziierten Wahrscheinlichkeiten zu definieren.

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Wir befinden uns im klassischen Rahmen der Baysschen Interferenz, wo wir, basierend auf unseren Beobachtungen, die A-priori-Wahrscheinlichkeit von Aktien, dem jeweiligen Topf oder „Bucket“ anzugehören, revidieren können. Im Fall der Aktie Veolia, die eine realisierte Volatilität von 23,9 Prozent aufweist, welches nah am Topf (Bucket) 1 ist, leiten wir folgende Wahrscheinlichkeiten ab:

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Unsere Schätzung verwendet nicht nur die individuellen Informationen jeder Aktie sondern auch kollektive Informationen aus der Beobachtung der Gesamtheit der Aktien. Zusätzlich wird durch einen probabilistischen Ansatz die Unsicherheit berücksichtigt, die mit Schätzfunktionen einhergeht.

Damit ist dieser Allokations-Ansatz in der Lage, ohne Zusatz von künstlichen Bedingungen optimale Portfolien zu generieren, die weit bessere Ertrags-Risiko-Profile als die der Benchmark-Indizes aufweisen. Danke Reverend Bayes.

Über die Autoren:
Christophe Olivier ist Investment-Chef von Finaltis in Paris und hat den akademischen Grad eines Master of Science in Ingenieurswesen von der Ecole Centrale de Paris. Er ist zugleich Absolvent magna cum laude (1991) des Institut d’Etudes politiques de Paris Business School. Rémy Croisille ist Research-Chef von Finaltis und hat über 10 Jahre lang Mathematik an verschiedenen Hochschulen gelehrt. Er ist Diplom-Mathematiker und hat an der Ecole Normale Supérieure d’Ulm in Paris studiert.

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